Pierre de Fermat (1608 - 1665)

So, jetzt zur Sache - ein Sonnenuntergang soll uns weiterhelfen; aber der Reihe nach !

Bitte erinnern Sie sich : Im Kapitel 3 über die Brechung hatten wir uns der 'Behauptung' von Pierre de Fermat angeschlossen, daß ein Lichtstrahl bestrebt ist, den Weg zwischen zwei Punkten in der kürzest möglichen Zeit (nicht auf dem kürzest möglichen Weg !) zurückzulegen. (Am besten Sie schauen sich das noch einmal an - hier klicken!)

Aus diesem Prinzip ließ sich sehr elegant das Brechungsgesetz und in der weiteren Folge die Abbildung durch Linsen und Linsensysteme herleiten. Wir hatten auch bereits angedeutet, daß sich das Reflexionsgesetz sehr gut mit dem Fermat'schen Prinzip verträgt, und es wird Sie sicher nicht wundern, daß auch der Strahlverlauf und die Abbildung an Hohlspiegeln sehr einfach mit Hilfe dieses Prinzips zu beschreiben ist, - ist ja im Grunde auch nichts anderes als Reflexion.

Optik - eine Wissenschaft der Grenzflächen ?

Bei den bisherigen Betrachtungen war immer eine Grenzfläche im Spiel: z.B. Luft-Wasser, oder Luft-Glas.

An diesen Grenzflächen wird die Ausbreitung des Lichtstrahls beeinflußt; er wird gebrochen und / oder reflektiert, und wenn man diese Grenzflächen geschickt gestaltet, dann lassen sich damit Abbildungen erzeugen. Vor dem Hintergrund dieser Effekte könnte man sich sogar zu der Formulierung hinreißen lassen, daß die Optik die "Wissenschaft der Grenzflächen" ist.

Wenn ein Lichtstrahl von der tiefstehenden Abendsonne schräg auf die Lufthülle der Erde trifft, dann wird er versuchen, einen möglichst großen Teil seines Weges in den Luftschichten mit kleinem Brechungsindex, d.h. hoher Geschwindigkeit und einen möglichst kurzen Teil in den Bereichen mit großem Brechungsindex zurückzulegen. Daraus resultiert der im obigen Bild dargestellte, gebogene Strahlverlauf.

Wenn wir die Sonne am Abend noch über dem Horizont sehen, befindet sie sich in Wahrheit schon längst darunter !

Um eine ganz ähnliche Erscheinung handelt es sich bei der Fata Morgana, einer Luftspiegelung über einer heißen Oberfläche, z.B. einer Straße oder dem heißen Wüstensand. Durch die hohen Temperaturen in der Nähe der Straße entsteht eine Verteilung des Brechungsindex, die dafür sorgt, daß der Lichtstrahl auf einer nach oben gekrümmten Bahn verläuft, weil dieser zeitlich kürzer ist als der direkte. Im Bild unten wird die Palme gespiegelt; sehr viel öfter können Sie aber die Spiegelung des Himmels beobachten, was dann wie eine große blaue, durch den Einfluß der Luftschlieren wellige Fläche aussieht und dem Verdurstenden in der Wüste wie ein Gewässer vorgaukelt.

Diese Beispiele für die Ausbreitung des Lichtes in einem Medium, dessen Brechungsindex sich kontinuierlich ändert, machen deutlich, daß wir das Fermat'sche Prinzip doch noch etwas genauer definieren müssen.

Um den Übergang zu einer kontinuierlichen Schichtung des Brechungsindex in den Griff zu bekommen, starten wir zunächst mit einem Beispiel, bei dem der Lichstrahl durch einen Glasplattenstapel aus den unterschiedlichsten Glassorten hindurchläuft:

Wenn Sie den ganzen "Formelkram" nicht mögen, dann lesen Sie jetzt bitte hier auf der linken Seite weiter - Sie verpassen nichts - na,ja, - fast nichts !

Durch eine geeignete Staffelung der Brechungsindices läßt sich fast jeder Strahlverlauf einstellen. Aber natürlich gilt auch hier Fermats Forderung, daß die Gesamtzeit ein Minimum sein sollte. Wenn man die Teilwegstrecken in den Glasplatten mit s_i und die jeweiligen Geschwindigkeiten des Lichtes mit v_i bezeichnet, dann gilt für die gesamte Laufzeit

Wir bilden die Summe der Laufzeiten für die einzelnen Teilstrecken in dem oben gezeigten Glasplattenstapel und .....

oder:

Nun kann man, wie Sie sich bestimmt erinnern, die Lichtgeschwindigkeit v_i innerhalb eines bestimmten Mediums durch den Brechungsindex n_i und die Vakuumlichtgeschwindigkeit c_o ausdrücken :

d.h. der obige Summenausdruck für die Laufzeit lässt sich sofort umschreiben:

Achtung nicht verwechseln - Wir reden hier nicht von der geometrischen Weglänge, sondern von der optischen Weglänge und die ergibt sich aus dem Produkt von Brechungsindex und der geometrischen Wegstrecke und ist damit ein Maß für die Laufzeitt (Gehen Sie doch 'mal zurück zu Kapitel 3 wo wir uns über die "optische Weglänge" untgerhalten haben !)

Das Produkt n_{i ^.} s_i ist die sog. 'optische Weglänge'. Man kann das Fermat'sche Prinzip deshalb auch umformulieren :

"Das Licht durchläuft eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der kleinsten optischen Weglänge."

Für ein Medium mit kontinuierlicher Verteilung des Brechungsindex muß die Summe allerdings durch ein Integral ersetzt werden:

oder, wenn man sich auf die optische Weglänge L konzentriert:

Achtung - neuer Gesichtspunkt !

Bevor wir diesen Formalismus weiter entwickeln, sollten wir uns innerlich zurücklehnen und überlegen, was wir hier eigentlich treiben!

Vielleicht hatten Sie bereits bei der Diskussion um die Reflexion an einer Spiegeloberfläche den Eindruck, daß hier etwas nicht stimmen kann. Schauen Sie doch noch einmal ins Kapitel 2 : Der Lichtstrahl, der in der kürzesten Zeit - und auf dem kürzesten Weg - vom Startpunkt zum Endpunkt gelangt, ist natürlich der direkte und nicht derjenige, der den Umweg über die Spiegeloberfläche nimmt ! Um Sie nicht auf diesen Gedanken zu bringen, hatte ich diese direkte Verbindung in den Bildern gar nicht erst eingezeichnet.

Die Angelegenheit läßt sich (natürlich !) auch etwas mathematischer formulieren: Um den Extremwert der Laufzeit zu berechnen, hatten wir die folgende Bedingung benutzt:

und zur Herleitung des Brechungsgesetzes auf den Ausdruck für die Laufzeit angewandt. (Hier geht's noch einmal zurück zu Kapitel 3.)

Wir hatten oben für die gesamte optische Weglänge den Ausdruck

notiert. Wenn ist, dann ist das identisch mit:

ACHTUNG : diese Funktion nennt man auch "Eikonal" !

d.h., die Variation mit des optischen Weges ist Null.

.... und diese Bedingung wird eben bei der Fata Morgana oder beim Sonnenuntergang für die gekrümmten Lichtstrahlen am besten erfüllt !

Sie werden einwenden, dass diese Art der Optimierung des Strahlverlaufes nicht mehr viel mit Fermats Kriterium der kürzesten Zeit zu tun hat !

Ja und Nein - wenn Sie nämlich aus der Vielzahl der möglichen Strahlverläufe denjenigen mit der kürzesten Zeit heraussuchen, also das Minimum, dann sind im Normalfall (einen stetigen Funktiionsverlauf vorausgesetzt) die Laufzeiten der benachbarbarten Strahlverläufe sehr ähnlich, d.h. die Variation des ist annähernd Null.

Mit dieser letzten Formulierung des Fermat'schen Prinzips ist den Formalisten hoffentlich Genüge getan, und wir können uns der Frage zuwenden was denn die physikalische Bedeutung dieses so umformulierten Fermat'schen Prinzips sein könnte.

Also - um was geht es hier eigentlich ?

Wenn wir mal für einen kurzen Momemt die Strahlenoptik vergessen und uns daran erinnern, daß man das Licht auch als Welle beschreiben kann, dann wird sofort klar, was hinter dem Variationsprinzip des optischen Weges steckt:

Gleiche Phasenlage zwischen benachbarten Lichtstrahlen bedeutet konstruktive Interferenz, d.h. durch die Überlagerung der Strahlen am Bildort werden sie sich gegenseitig verstärken.

Diejenigen optischen Wege, bei denen diese Randbedingung erfüllt ist, tragen zur Entstehung eines Bildes bei, diejenigen bei denen diese Bedingung nicht erfüllt ist sind uninteressant, weil sich die benachbarten Strahlen am Bildort auslöschen.

Ob benachbarte Strahlen zur Bildentstehung beitragen können, wird durch das "Eikonal" beschrieben , benannt nach dem griechischen Wort " " für Bild.

Eine Lichtquelle sendet ihre Strahlen ganz wahl- und ziellos aus; einige davon bleiben erhalten und gelagen an ein Ziel, andere löschen sich gegenseitig durch Überlagerung aus. Das ist alles !

... und wenn man es schlau anstellt, - z.B. mit geeignet geformten Gläsern (=Linsen) - dann formen die "überlebenden" Lichtstrahlen ein Bild !

Mit einem übergeordneten Lenker und Planer, der in die Abläufe der Natur steuernd eingreift, mit dem Ziel, irgendeine Art von Optimierung zu erreichen, hat das wenig zu tun, - zumindest was den Weg eines Lichtstrahls betrifft !

Zum Abschluß dieses Kapitels soll noch ein Gedanke von Feynman vorgestellt werden, wonach das Fermat'sche Prinzip sogar als Erklärungsgrundlage für die Beugung des Lichtes dienen kann.

In den folgenden Skizzen ist eine Blende (schwarzer senkrechter Balken) dargestellt, die von einem ausgedehnten Lichtstrahl von links getroffen wird.

Wenn der Spalt weit geöffnet ist tritt ein breiter Lichtstrom hindurch und dahinter würde ein Detektor im Bereich des Spaltes ein bestimmte Strahlungsintensität messen können, außerhalb dieses beleuchteten Bereichs wäre der Detektor im Schatten der Blende, - die gemessene Strahlungsintensität ist annähernd Null.

Ja ja, ich gebe es zu: eine ziemlich umständliche Beschreibung des Schattenwurfes einer Blende !

Aber der spannende Teil der Geschichte kommt jetzt:

An den Kanten der geöffneten Blende entsteht ein kleiner Anteil an Streulicht, was die Ränder des hindurchtretenden Lichtbandes etwas unscharf macht, im übrigen aber keine große Auswirkung hat.

Das Streulicht vagabundiert kreuz und quer und verliert sich im Raum - die Laufwege der gestreuten Lichtstrahlen sind so unterschiedlich, dass keine konstruktive Überlagerung entstehen kann.

Mit unserem neu gewonnenen Wissen würden wir sagen das Eikonal ist ungleich Null ! (s.o.)

Wenn wir den Spalt weiter schliessen, dann rücken auch die Streulichtkegel dichter aneinander, aber für eine konstruktive Überlagereung (Interferenz) reicht das noch nicht ganz:

Erst wenn wir den Spalt fast schliessen - konkret heisst das: die Spaltöffnung ist kleiner als die Wellenlänge - dann liegen die Streulichtkegel so dicht beieinander, dass sie sich (annähernd phasenrichtig) überlagern und damit gegenseitig verstärken können. Jetzt ist der Raum hinter der Blende zwar sehr schwach, aber einigermassen gleichmässig ausgeleuchtet, - wir haben Beugung ! (Das Eikonal ist annähernd Null!)

Wir haben damit auf der Basis des Fermat'schen Prinzips einen Effekt erklärt, der eigentlich erst mit den Mitteln der Wellenoptik vollständig beschrieben werden kann.

Hätten Sie gedacht, daß das Fermat'sche Prinzip soweit reicht ?

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