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PI X E L - Z O O |
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7. Dünne Linsen |
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| Eine Internetseite in der diese Thema ebenfalls behandelt wird finden Sie hier ! |
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Gut, - nun wissen wir, wie sich das Licht benimmt, wenn es auf eine Kugelfläche trifft; - aber besonders nützlich ist dieses Wissen nicht ! Ganz selten nämlich befindet sich der Gegenstandspunkt in einem anderen Medium als der Bildpunkt. Eine Kamera, bei der sich die Abbildung vollständig innerhalb des Linsenkörpers abspielt, ist ziemlich unbrauchbar ! Eine funktionsfähige Linse besteht natürlich aus zwei Grenzflächen, und für jede dieser Flächen können wir den oben entwickelten Formalismus anwenden. |
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| 'Dünne Linse' - das ist jetzt schon die zweite 'Näherung', die wir brauchen, um den Strahlverlauf durch sphärische Flächen zu beschreiben !
Sie erinnern sich ? Die erste Näherung bezog sich auf achsennahe Strahlen (Paraxialstrahlen ). |
Es gibt es eine Vielzahl von Linsenformen mit den unterschiedlichsten Oberflächenkrümmungen. Für jede dieser Linsen und Linsenkombinationen könnte man eine spezielle Formel aufstellen, die man dann zur Hand hätte, wenn man von seinem Chef die Aufgabe erhält, den Strahlverlauf durch einen "Sieben-Linser" zu berechnen; - aber sehr sinnvoll erscheint mir das nicht. Überlassen wir solche Zauberkunststücke lieber den Spezialisten und kümmern uns um einige grundsätzlichere Fragestellungen, - z.B., wie man die Wirkung einer einzelnen sphärischen Linse beschreiben kann. Zur weiteren Vereinfachung der Verhältnisse soll hier auch nur von den sog. "dünnen Linsen" die Rede sein. "Dünne Linsen" sind solche, bei denen kleinere Laufwegsfehler im Glaskörper vernachlässigt werden können.
Oder anders ausgedrückt: Wir vergessen, dass die Linse eine bestimmte Dicke hat und ersetzen sie durch eine "Mittelebene", die senkrecht auf der optischen Achse steht. |
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Bei Feynman liest sich das alles viel un-terhaltsamer ! Ich gebe mir hier ja jede Mühe, Sie bei Laune zu halten, - aber Sie sollten wirklich 'mal einem der besten Physik-Didaktiker über die Schulter schauen: werfen Sie doch einen Blick in seine " Vorlesungen über Physik" aus dem R.Oldenbourg Verlag !
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Wir fangen zur Herleitung der Gleichung für dünne Linsen noch einmal ganz von vorn an - die Grundidee ist aber immer gleich: die optischen Wege zwischen Gegenstandspunkt A und Bildpunkt D müssen für alle Strahlen gleich sein! Im folgenden Bild sind zwei Extremfälle für den Strahlverlauf eingezeichnet: Der direkte (optische) Weg ABCD muß nach dem Fermat'schen Prinzip genauso lang sein wie der (optische) Weg über die äußerste Linsenkante M, also : n1.AB + n2.BC + n1.CD = n1.AM + n1.MD |
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Wie man auf diesen Zusammenhang kommt, hatten wir mehrfach im Kapitel 6 ("Brechung an einer Kugelfläche") besprochen, - blättern Sie bitte zurück. |
Die schräg verlaufenden Strahlen AM und MD sind um die Strecke (n1.h2 / 2s + n1.h2 / 2s') (geometrisch ) länger als die direkte Verbindung AD . Ausgeglichen wird dieser geometrische Unterschied durch die Tatsache, daß der direkte Strahl auf der Strecke BC durch Glas laufen muß und dadurch einen um den Anteil (n2 - n1).BC längeren (optischen) Weg zurückzulegen hat. Es muß also gelten: |
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(n1.h2 / 2s + n1.h2 / 2s') = (n2 - n1).BC
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| Die Länge der Strecke BC läßt sich - unter Beachtung der oben definierten Näherung für achsennahe Strahlen - auch durch die Krümmungsradien ausdrücken: | |
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Sie erinnern sich ? Das hatten wir uns auch schon im Kapitel 6 überlegt! |
BC = h2 / 2R1 - h2 / 2R2
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und daraus ergibt sich schließlich: |
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n1/s + n1/s' = (n2 - n1).(1/R1 - 1/R2) |
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Sie erinnern sich, diese Schreibweise für den Brechungsindex hatten wir bereits im Kapitel 3 "Brechung" benutzt. |
Wenn wir nun noch die Abkürzung n = n2/n1 einführen, dann erhalten wir die folgende Beziehung zwischen den Schnittweiten s und s', sowie den Krümmungsradien der Linsenoberflächen R1 und R2
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1/s + 1/s' = (n-1). (1/R1 - 1/R2)
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Damit verfügen wir über ausreichendes Handwerkszeug, um den Strahlverlauf durch eine 'dünne Linse' zu beschreiben.
Lassen Sie uns zunächst mal die Brennweite f untersuchen. Zu diesem Zweck verschieben wir die Gegenstandsweite s ins Unendliche (d.h., der einfallende Strahl verläuft parallel zur optischen Achse) und bezeichnen die dazu gehörende Bildweite s' als Brennweite f . Also: |
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Als Brillenträger kennen Sie vielleicht den Begriff 'Dioptrie' als Maß für die Brennweite bzw. 'Brechkraft' einer Linse. Diese Maßeinheit - sie erspart einem das Rechnen mit Kehrwerten - ist vollkommen überflüssig und deshalb wahrscheinlich so langlebig. Hier die Definition: Die 'Brechkraft' einer Linse mit der Einheit 'Dioptrie' ist der Kehrwert der Brennweite, wobei die Brennweite in Metern ausgedrückt wird. Beispiel: eine Linse mit der Brennweite von 20 cm = 0,2m hat danach eine Brechkraft von (1/0,2 = ) 5 Dioptrien. |
1/f = (n-1). (1/R1 - 1/R2) |
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Berechnungsbeispiele finden Sie auf dieser Internetseite! |
Im Gegensatz zu einer einzelnen, sphärisch gekrümmten Fläche bleibt die Brennweite jetzt auch bei einer Umkehrung der Strahlengangs gleich groß. Mit diesem Wissen über die Brennweite einer 'dünnen' Linse können wir die obige Linsengleichung weiter vereinfachen: |
| Linsengleichung |
1/s + 1/s' = 1/f
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| Diese Schreibweise ist für den praktischen Umgang mit Linsen auch sehr viel sinnvoller. Stellen Sie sich bitte vor, Sie hätten eine Linse mit unbekannten Eigenschaften vor sich auf dem Tisch liegen. Sie könnten nun natürlich die Krümmungsradien der Oberflächen messen und wären damit in der Lage, mit Hilfe der oben genannten Bezehungen
1/s + 1/s' = (n-1). (1/R1 - 1/R2) die Bild- und Gegenstandsweite zu ermitteln. Aber nun messen Sie mal den Krümmungsradius einer Sphäre! Die Angelegenheit ist keineswegs trivial. Da ist es schon sehr viel einfacher, die Brennweite der Linse zu bestimmen. Man hält das 'Ding' z.B. gegen die Sonne - diese Lichtquelle ist 'ziemlich weit' entfernt und das einfallende Strahlenbündel deshalb recht gut parallel - und dann mißt man den Abstand zwischen der Linse und dem Fokus. Fertig ! |
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Ein nicht ganz uninteressanter Sonderfall liegt vor, wenn sich der Gegenstandspunkt s in der Entfernung 2f von der Linse befindet, dann ist der Bildpunkt s' ebenfalls in einem Abstand von 2f zu finden und - wie sich später zeigen wird - das Verhältnis Ge-genstandsgröße / Bildgröße ist 1:1.
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| Wir sollten noch ein paar Gedanken an die Definition der Brennweite
1/f = (n-1). (1/R1 - 1/R2) verschwenden, - speziell auf das Vorzeichen. Im Fall einer einfachen Sammellinse (bikonvex) mit R1 >0 und R2 < 0 ergibt sich auf jeden Fall ein positiver Wert, - aber was bedeutet es eigentlich, wenn die Brennweite negativ ist, z.B. für den Fall R1 < 0 und R2 > 0 ( bikonkav) ? Im folgenden Bild sind die beiden Fälle gegenübergestellt: |
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| Konvexe Linse : in der Mitte dicker als am Rand. |
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| Den Begriff 'unendlich' sollte man in der Optik nicht allzu wörtlich nehmen. Gemeint ist häufig ein paralleles Strahlenbündel , - so auch hier ! | Negative Brennweite bedeutet zunächst nur, daß ein parallel einfallendes Strahlenbündel in ein divergentes Bündel umgewandelt wird. Für einen Beobachter auf der rechten Seite der Linse entsteht jedoch der Eindruck, als ob das Strahlenbündel aus einer punktförmigen Lichtquelle jenseits der Linse (auf der linken Seite) stammt; man spricht hier von einem 'virtuellen' Bild, während im Fall der positiven Brennweite ein reelles Bild einer ('unendlich' weit entfernten) Lichtquelle entsteht. |
| Eine Übersicht über die verschiedenen Linsentypen finden Sie in der folgenden Tabelle: | |
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| Aus diesen beiden Regeln für den Strahlverlauf durch eine Linse läßt sich auch direkt die Linsengleichung herleiten - in vielen Lehrbüchern wird das vorgeführt, aber ich denke damit wird das Pferd vom Schwanz aufgezäumt ! | 1. Regel:
Jeder parallel zur optischen Achse einfallende Strahl verläuft auf der anderen Seite der Linse durch den Brennpunkt, - und sei es auch nur in seiner rückwärtigen Verlängerung . |
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Die zweite Regel ergibt sich direkt aus der ersten, wenn man die Umkehrbarkeit des Strahlenganges berücksichtigt. |
2. Regel:
Jeder Strahl, der durch den Brennpunkt die Linse erreicht, verläßt diese parallel zur optischen Achse. |
| Im folgenden interaktiven Bildschirmexperiment wollen wir uns 'mal ansehen, wie sich diese Regeln für den Strahlverlauf in der "Praxis" auswirken. (Wir greifen hier schon einmal auf das nächste Kapitel "Abbildungen" vor, aber ich denke das können Sie verschmerzen.)
Auf der linken Seite in unserem virtuellen Versuchaufbau befinde sich ein selbst(!)-leuchtender Gegenstand (blauer Pfeil). Eigentlich "leuchtet" von diesem Gegenstand nur die oberste Spitze. Die Lichtstrahlen die von diesem Punkt des Gegenstandes ausgehen wollen wir durch die "dünne Linse" verfolgen - und davon auch wieder nur zwei: den ersten der parallel zur optischen Achse auf die Linse trifft (1. Regel) und den zweiten der durch den Brennpunkt der Linse verläuft (2. Regel) Soweit, so einfach. Oder ? Jetzt klicken mit der Maus (linke Taste!) auf die Spitze des Gegenstandes (blauer Pfeil) und bewegen die Maus hin und her. Sie können dabei beobachten, wie sich der Strahlverlauf durch die dünne(!) Linse und damit auch die Abbildung auf der rechten Seiten (schwarzer Pfeil) verändert. |
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| Abbildung durch eine dünne bikonvex Linse:
1. Gegenstand befindet sich in einer Enfernung von mehr als der doppelten Brennweite --> das Bild ist verkleinert. 2. Gegenstand befindet sich in einer Entfernung von genau der doppelten Brennweite (Punkt '2f') --> das Bild ist gleich groß. 3. Gegenstand befindet sich zwischen der doppelten und der einfachen Brennweite --> das Bild ist vergössert. 4. Gegenstand befindet sich zwischen der einfachen Brennweite und der Linse --> es entsteht ein "virtuelles" Bild auf der Gegenstandsseite. |
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